本页由速查手册图解整理而成，按年级顺序归纳初中数学核心知识点：从四年级三角形起步，七年级几何初步、方程组、不等式、相交线与平行线、平方根与销售应用题，再到八年级几何模型（倍长中线、半角、手拉手、将军饮马、阿氏圆）。文末附几何定理与公式速查、圆的相关定理与竞赛几何定理三大专题，便于查阅提高。左侧目录可快速跳转。
四年级下册 图形与几何
三角形
三角形定义：由 3 条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
高的定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
各部分名称
一个三角形有 3 条边、3 个顶点、3 个角、3 条高。三角形具有 稳定性。
三边关系（三角形特性）
- 任意两边之和大于第三边：a+b>c，a+c>b，b+c>a
- 任意两边之差小于第三边
三角形的分类
| 分类方式 | 类型 | 特征 |
|---|---|---|
| 按角分 | 锐角三角形 | 3 个角都是锐角 |
| 直角三角形 | 有 1 个直角 | |
| 钝角三角形 | 有 1 个钝角 | |
| 按边分 | 不等边三角形 | 三条边都不相等 |
| 等腰三角形 | 有两条边相等 | |
| 等边三角形 | 三条边都相等，3 个角都是 60° |
内角和
- 三角形内角和 = 180°
- 多边形内角和 = (n − 2) × 180°（n 为边数）
n 边形可从一个顶点出发分成 (n − 2) 个三角形，每个三角形内角和为 180°，故总和为 (n − 2) × 180°。
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七年级 代数与几何
第四章 · 几何图形初步
两个基本事实（公理）
- 两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线。
- 两点之间线段最短：连接两点的所有连线中，线段最短；这两点间线段的长度叫做两点间的距离。
角的概念
角：由公共端点引出的两条射线组成的图形；公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。角也可看作一条射线绕端点旋转而成。
| 单位换算 | 关系 |
|---|---|
| 1 周角 | = 360° |
| 1 平角 | = 180° |
| 1 度 | = 60 分（1° = 60′） |
| 1 分 | = 60 秒（1′ = 60″） |
钟表问题（时针与分针夹角）
- 分针每分钟走 6°（360° ÷ 60）。
- 时针每分钟走 0.5°（30° ÷ 60）。
- t 分钟时，分针与时针每分钟拉开 6° − 0.5° = 5.5°。
求某时刻夹角：先算时针位置角 = 30°×时 + 0.5°×分，再算分针位置角 = 6°×分，两者之差取锐角即可。
双中点模型
线段 AB 上，M、N 分别为 AC、CB（或相关线段）的中点，无论 C 的位置如何， MN = ½AB 恒成立。角的双中点（两条角平分线夹角）同理：夹角 = ½ 全角。
口诀：中点距离只与整体线段（或整体角）有关，与中间分点位置无关。
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余角 · 补角 · 角平分线
余角
如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角。
性质：等（同）角的余角相等。
补角
如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角。
性质：等（同）角的补角相等。
方位角
以正北或正南方向为基准，用角度描述物体所在的方向。
角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的角平分线。
基本用法：欲求半角，先求全角；欲求全角，先求半角。
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第五章 · 二元一次方程组
二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。
- 二元一次方程组必须含有 两个未知数。
- 方程组的解：能使方程组中每个方程左右两边的值都相等的一对未知数的值。
- 任何一个二元一次方程都有 无数对解。
解法
| 方法 | 核心思想 |
|---|---|
| 代入消元法 | 由一个方程解出一个未知数，代入另一方程，消去一元 |
| 加减消元法 | 把两方程相加或相减，消去系数相同（或相反）的一元 |
两种解法的共同目标都是"消元"，把二元问题转化为一元一次方程求解。
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第六章 · 不等式及其基本性质
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。
- 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是 1，且用不等号连接的式子。
一元一次不等式组解集的步骤
- 分别求出各个不等式的解集；
- 利用数轴找出这些解集的 公共部分，即为不等式组的解集。
口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解。
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第七章 · 相交线与平行线
同一平面内两条直线的关系：相交 和 平行。
对顶角
两条直线相交形成四个角，其中有公共顶点、且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角，叫做对顶角。
性质：对顶角相等。
平行线
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
- 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
- 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
第八章 · 平方根与立方根
算术平方根：如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x² = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。
- 正数 a 的算术平方根记作 √a。
- 0 的算术平方根是 0。
一元一次方程 · 销售（利润）问题
核心量与关系
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 利润 | 利润 = 售价 − 进价 |
| 利润率 | 利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100% |
| 售价（标价打折） | 售价 = 标价 × 折扣 |
| 售价（按利润率） | 售价 = 进价 ×（1 + 利润率） |
| 总利润 | 总利润 = 单件利润 × 销量 |
解题步骤
- 设未知数（通常设进价、标价或销量为 x）；
- 用等量关系"售价 − 进价 = 利润"列出方程；
- 注意折扣以"几折 = 十分之几"换算，如八折 = 0.8；
- 解方程并检验是否符合实际（如价格、数量非负）。
"打几折"是按标价乘折扣，"利润率"是相对进价而言，二者基准不同，列方程时不要混淆。
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八年级上 · 几何模型汇总 南京数学 · 柯老师
倍长中线
基本辅助线思路
延长中线 AM 至 D，使得 AM = MD，连接 CD（或 BD），则有 △ABM ≌ △DCM（或 △ACM ≌ △DBM）。
变式（倍长类中线）
延长 EM 至 D，使得 EM = MD，连接 BD，则有 △EMC ≌ △DMB。
倍长中线可用于证明三角形重心的相关结论，也可用于婆罗摩笈多模型的结论证明。核心是通过"中点 + 倍长"构造全等三角形，把分散的条件集中转移。
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模型 3 · 婆罗摩笈多模型
| 类型 | 已知 → 求证 |
|---|---|
| 类型 1 | 垂直 证 中线 |
| 类型 2 | 中线 证 垂直：EG = 2AM，且 AM ⊥ EG |
辅助线策略
倍长中线，或构造 一线三垂直 模型，从而建立全等关系。
↑ 返回顶部模型 4 · 半角模型
类型 1 · 90° 含 45° 型
条件：正方形 ABCD 中，∠EAF = 45°。
结论：
- BE + DF = EF
- △CEF 的周长 = 正方形边长的 2 倍
- 点 A 到 EF 的距离等于正方形的边长（AE、AF 是对应角的平分线）
- AE、AF 分别平分 ∠BEF 与 ∠DFE
辅助线关键：截长补短法，构造 △ADF ≌ △ABF′（旋转全等），把 DF 旋转到 BE 延长线上，拼成 EF。
类型 2 · 120° 含 60° 型
条件：△ABC 是等边三角形，△BDC 是等腰三角形，BD = CD， ∠BDC = 120°，∠EDF = 60°。
结论：
- EF = BE + FC
- △AEF 的周长 = 2AB
- DE、DF 分别平分 ∠BEF 和 ∠EFC
辅助线关键：截长补短法 / 旋转法，构造全等三角形。
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模型 5 · 手拉手模型（旋转全等）
两个 共顶点 的等腰三角形（或正多边形），绕公共顶点旋转后，对应边、对应三角形之间存在全等关系，形如"两只手拉在一起"。
基本结论
设 △OAB 与 △OCD 是共顶点 O 的等腰三角形，OA = OB，OC = OD，∠AOB = ∠COD，则连接 AC、BD 后：
- △OAC ≌ △OBD（SAS）
- 对应边相等：AC = BD
- AC 与 BD 的夹角等于顶角 ∠AOB
- OABD、OACD 等对应线段所成角相等，公共顶点 O 到 AC、BD 距离相等（O 在夹角平分线上）
识别口诀："共点等线段，旋转即全等"。等边三角形手拉手、正方形手拉手都是常见变式，核心是抓住"两组邻边相等 + 夹角相等"用 SAS。
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模型 6 · 最短路径（将军饮马）
在一条直线（河边）同侧有 A、B 两点，要在直线上找一点 P，使 PA + PB 最短——这就是"将军饮马"问题。
解法
- 作 A 关于直线 l 的 对称点 A′；
- 连接 A′B，与直线 l 的交点即为所求点 P；
- 此时 PA + PB = A′B 为最小值（两点之间线段最短）。
常见变式
| 模型 | 处理方法 |
|---|---|
| 两定点 + 一动点在直线上（和最小） | 作一个对称点，化折线为直线 |
| 两动点分别在两条直线上 | 作两次对称 |
| 过河造桥（含定长平移） | 先平移消去桥长，再作对称 |
| 差最大 |PA − PB| | 取同侧，连线延长交直线 |
核心思想：利用 轴对称 把"同侧折线"转化为"异侧直线"，再用"两点之间线段最短"或"三角形两边之差小于第三边"求极值。
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模型 7 · 阿氏圆（阿波罗尼斯圆）
平面内到两个定点 A、B 的 距离之比为定值 k（k ≠ 1） 的动点 P 的轨迹，是一个圆，称为 阿波罗尼斯圆，即满足 PA : PB = k。
解题用途 · "PA + k·PB"型最值
当求形如 PA + k·PB（k 为定值）的最小值时，常在 PB 所在的线段上构造 子母相似：在 OB 上取点 C，使 OC : OP = OP : OB = k，则 △OPC ∽ △OBP，得 k·PB = PC，从而把 PA + k·PB 转化为 PA + PC，再用"两点之间线段最短"求解。
关键构造：利用半径比 k 找到"隐藏定点"C（OC = k²·OB 或按相似比确定），把带系数的线段和转化为普通折线最短问题。
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几何定理与公式速查 三角形 · 相似
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a² + b² = c²（c 为斜边）。
逆定理：若三角形三边满足 a² + b² = c²，则该三角形是直角三角形。
常见勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)、(7,24,25)，及其整数倍。
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射影定理（直角三角形）
在直角三角形 ABC 中（∠A = 90°），AD 是斜边 BC 上的高，则：
- 直角边是斜边与其射影的比例中项：AB² = BD · BC，AC² = CD · BC
- 斜边上的高是两射影的比例中项：AD² = BD · CD
- 面积关系：AB · AC = AD · BC
由 △ABD ∽ △CBA ∽ △CAD（母子相似）三组相似导出，是相似三角形的重要应用。
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中线长公式
三角形三边为 a、b、c，边 a 上的中线长 m_a 满足：
m_a² = (2b² + 2c² − a²) / 4
可由 倍长中线 构造平行四边形后，用平行四边形对角线平方和公式导出，与八年级"倍长中线"模型相呼应。
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三角形面积公式
| 已知条件 | 公式 |
|---|---|
| 底与高 | S = ½ · a · h |
| 两边及夹角 | S = ½ · a · b · sinC |
| 三边（海伦公式） | S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)]，p = (a+b+c)/2 |
| 内切圆半径 r | S = p · r |
三角形中位线定理
连接三角形两边中点的线段叫做中位线。中位线 平行于第三边，且等于第三边的一半：DE ∥ BC 且 DE = ½ BC。
梯形中位线 = 上下底之和的一半：l = (a + b) / 2。
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角平分线定理
三角形内角平分线分对边所得两条线段，与相邻两边成比例：在 △ABC 中，AD 平分 ∠A 交 BC 于 D，则
BD : DC = AB : AC
另一性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（这是"角平分线的性质定理"）。
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面积割补法
求不规则图形面积时，通过 分割（拆成若干规则图形求和）或 补全（补成规则图形再减去多余部分）来计算，简称"割补法"。
常见思路
- 分割：将图形切成三角形、矩形等，分别求面积再相加。
- 补形：补成大矩形/大三角形，用大图形面积减去补上的部分。
- 等积变换：利用"同底等高面积相等"平移顶点，化难为易。
坐标系中不规则多边形常用 "补成矩形再挖角" 或 铅垂高 × 水平宽 ÷ 2 求三角形面积。
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圆的相关定理 圆幂 · 切线
圆幂定理（相交弦 · 割线 · 切割线）
相交弦定理
圆内两弦 AB、CD 相交于点 P，则 PA · PB = PC · PD。
割线定理
从圆外一点 P 引两条割线，分别交圆于 A、B 和 C、D，则 PA · PB = PC · PD。
切割线定理
从圆外一点 P 引一条切线 PT（T 为切点）和一条割线 PAB，则 PT² = PA · PB。
以上三条统称 圆幂定理：点 P 对圆的幂 = PO² − r²，其绝对值等于过 P 的任意直线与圆两交点到 P 的距离之积。
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切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且圆心与该点的连线 平分两切线的夹角：PA = PB，∠APO = ∠BPO。
配合"切线垂直于过切点的半径"（OA ⊥ PA）使用，是求切线长、证内切圆的常用工具。
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托勒密定理
圆内接四边形 中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和：AC · BD = AB · CD + AD · BC。
托勒密不等式：对任意四边形（不一定内接于圆），有 AC · BD ≤ AB · CD + AD · BC，当且仅当四点共圆时取等号。
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梅涅劳斯定理
一条直线与 △ABC 的三边（或延长线）分别交于 D、E、F 三点，则
(AF/FB) · (BD/DC) · (CE/EA) = 1。
用于证明 三点共线。三个比值沿三角形一周首尾相接，方向乘积为 1（有向线段意义下为 −1）。
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塞瓦定理
△ABC 三顶点与对边上一点的连线 AD、BE、CF 三线共点 的充要条件是
(AF/FB) · (BD/DC) · (CE/EA) = 1。
与梅涅劳斯定理形式相同，但梅氏用于"共线"、塞瓦用于"共点"。中线、高线、角平分线三线共点都可由它证明。
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重心定理
三角形三条中线交于一点，称为 重心；重心把每条中线分成 2 : 1 两段（顶点到重心 : 重心到对边中点）。
- 重心坐标 = 三顶点坐标的平均值：G = ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3)
- 三条中线把三角形分成 面积相等 的 6 个小三角形
西姆松定理
从 △ABC 外接圆上任意一点 P，向三边作垂线，三个 垂足共线，这条直线称为 西姆松线。
逆命题也成立：若一点向三边垂足共线，则该点在外接圆上。是"四点共圆"的重要判定与应用。
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密克定理
在 △ABC 三边上各取一点 D、E、F，则 △AEF、△BFD、△CDE 三个三角形的 外接圆共点，该公共点称为 密克点。
帕斯卡定理 · 牛顿定理
帕斯卡定理
圆内接六边形，三组对边（所在直线）的交点 共线（帕斯卡线）。
牛顿定理
圆的外切四边形，两条对角线的中点与圆心 三点共线（牛顿线）。
这两条属于射影几何范畴，是圆与直线关系的高阶结论，供学有余力者拓展了解。
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